Os poliedros de Platão

O que é um poliedro?

Trata-se de um objeto com muitas faces. Um poliedro tem “bicos”, que são os ângulos poliédricos, e faces planas, que são os polígonos.
Um poliedro que tenha com faces apenas polígonos regulares, todos idênticos, e que também apresente todos os bicos (ângulos poliédricos) idênticos entre si é um poliedro regular.
Platão, por volta do século VI antes de Cristo, estudou certa classe de poliedros; que vieram posteriormente, ser conhecidos como os poliedros de Platão, entre os quais se incluem os poliedros regulares.
De um poliedro de Platão, exige-se que:
* Todas as faces sejam polígonos, regulares ou não, mas com o mesmos número de lados;
* Todos os bicos sejam formados com o mesmo número de arestas.

Quantos são os poliedros de Platão?
Só existem cinco tipos de poliedros de Platão, regulares ou não, que são:

1. Tetraedro

2. Octaedro

3. Icosaedro

4. Hexaedro

5. Dodecaedro 

Obs: Na tentativa de construir poliedros regulares, verificamos, na prática, que não é possível fazê-lo nem com hexágonos, nem com polígonos que tenham mais do que seis lados.

Obs 2: Os poliedros podem ser convexos ou não-convexos.

TEOREMA DE EULER

Em todo poliedro com A arestas, V vértices e F faces, vale a relação

V – A + F = 2

Essa relação é verdadeira para todos os poliedros convexos.

O poliedros regulares são conhecidos desde a antiguidade. O livro XIII dos “Elementos” de Euclides (cerca de 300 a.C.) é inteiramente dedicado aos sólidos regulares e contém extensos cálculos que determinam, para cada um, a razão entre o comprimento da aresta e o raio da esfera circunscrita.

Obs 3: A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é

S = (V – 2).4r

Onde V é o número de vértices e r é um ângulo reto.

A soma das medidas dos ângulos das faces de um poliedro convexo é dada pela expressão

S = (V – 2) . 360

Imagens de poliedros