Qual é a sua idade? (versão 2)

1. Pense num número de 1 à 9; 2. Multiplique esse número por 9; 3. Calcule 10 vezes a sua idade; 4. Do valor obtido em 3 subtraia o valor obtido em 2. O resultado é um número com 2 ou 3 algarismos.  Se ele tiver 2 algarismos, some-os e obtem a sua idade.  Se tiver 3 algarismos, some o primeiro número que tem 2 algarismos  com o segundo que tem 1 algarismo e obterá também a sua idade!

Qual é a sua idade? (versão 1

Pense num número de 1 à 7. Com a ajuda desse número secreto, vai fazer cinco operações.  Vai obter algo de muito revelador sobre si. 1- Multiplique esse número por 2; 2- Adicione 2; 3- Multiplique o resultado por 50; 4- Se a data do seu aniversário já passou este ano, some 11. Senão, some 10; 5- Subtraia o ano de seu nascimento  (por exemplo, se nasceu em 1970, tem de subtrair 70); O resultado é um número com três algarismos.  O primeiro é o número que pensou e os dois últimos são... a sua idade! Nota: Esta astúcia é válida para o ano de 2011.  Para 2012, tem de adicionar uma unidade nos números referidos no ponto 4.  Para 2013, duas unidades e assim sucessivamente.

Uma Visita ao País Plano (Parte 2)

Vejamos então a segunda e última pe desta incrível história de Edwin A. Abbot. Sugiro que leia antes a primeira parte e se quiser saber mais recomendo que compre o livro.

Visitante - Não, não e não! Por altura me refiro à uma dimensão análoga à seu comprimento, só que para você a altura não é tão facilmente perceptível, já que é pequeníssima.

Eu - Excelência, cabe comprovar vossa afirmação. V. Sa. diz que eu tenho uma terceira dimensão que chama altura. Pois bem, à esta dimensão há de corresponder uma direção e uma possibilidade de medição. Meça V. Sa. simplesmente a minha altura, ou mostre me, pelo menos, em que direção ela se estende, e eu me convencerei. Se não...

Visitante - Como devo convencê-lo?... Agora escute-me. Você vive em um plano. Este país, que você designa Plano, é igual à superfície de algo que eu poderia classificar com um líquido no qual você se move, sobre seu leito superior, sem poder nem elevar-se nem afundar. Eu não sou uma figura plana, e sim um corpo. Você me chama de círculo, mas na realidade não sou nenhum círculo e sim um número infinito de círculos que variam, em magnitude, desde um ponto até um círculo de 35 cm  de diâmetro, dispostos uns sobre os outros. Quando atravesso seu plano, como agora, então constituo em seu plano uma seção, que você, muito corretamente, chama de círculo. Pois uma esfera - este é meu nome verdadeiro - quando se apresenta aos habitantes de um país plano, deve, necessariamente, fazê-lo como um círculo. Seu plano não é suficiente amplo para mim. Vejo incredulidade em seus olhos. Mas, veja você, eu me elevo, e o efeito aos seus olhos é que meu círculo é cada vez menor, se concentrará num ponto até, finalmente, desaparecer por completo.

"Eu não pude - prosseguiu o narrador, o quadrado com formação matemática - ver realmente sua elevação. Vi entretanto, que se fez cada vez menor, acabando por desaparecer. Esfreguei os meus olhos para certificar-me de que não estava sonhando. Mas não era sonho, pois, das profundezas inlocalizáveis, me chegou uma voz grave".

Visitante - Está agora convencido? Pois bem, vou regressar gradualmente e você verá como minha seção se fará cada vez maior.

"Porém, apesar de ter diante de mim o fato, suas causas permaneceram tão obscuras quanto antes. Tudo o que pude perceber foi que o círculo se fazia cada vez menor e desaparecia e que agora reaparecia e se agrandava. Quando chegou a alcançar seu tamanho ordinário, ouvi-o exalar um profundo suspiro, pois ele observou, pelo meu silêncio, que não o havia compreendido. Eu estava inclinado a crer que fosse um enviado especial ou um ilusionista. Após uma longa pausa ele murmurou para si mesmo: - Devo tentar pelo método da analogia."

Visitante - Diga-me, senhor Matemático, se um ponto se desloca um pouco para o norte e deixa atrás de si uma esteira luminosa, que nome daria você à esta esteira?
Eu - Uma reta.
Visitante - E quantas extremidades tem uma reta?
Eu - Duas.

Visitante - Considere, agora, que esta linha que cursa para o norte se desloque paralelamente a si mesma, de leste para oeste, de forma que cada ponto deixa atrás de si a esteira de uma reta. Que nome dará à figura assim formada?

Eu - Um quadrado.

Visitante - E quantos lados tem um quadrado? Quantos ângulos?
Eu - Quatro lados e quatro ângulos.
Visitante - Vamos agora dar mais rigor à sua faculdade representativa. Imagine-se você, um quadrado, no País Plano, que se desloca paralelamente a si mesmo para cima.

Eu - Como? Para o norte?

Visitante - Não! Não para o norte! Para cima. Para além do País Plano. Eu me refiro a que todo ponto do que você chama seu interior, se desloque para cima através do espaço, de tal forma que nenhum ponto passe pelo lugar que foi antes ocupado por outro ponto. Entendeu?

"Eu reprimi minha impaciência, - disse o quadrado - pois senti uma forte gana de precipitar-me sobre meu visitante e lança-lo ao espaço, além de nosso país! Mas respondi"

Eu - E de classe deve ser a figura formada mediante este movimento para cima? Penso que poderá ser descrita em minha linguagem?
Visitante - Certo. É muito simples. Você deve falar referindo-se à ela, não em Figura, mas em Corpo. Façamos uma analogia. Comecemos por um único ponto que, por ser um ponto, só tem um ponto final. Um ponto gera uma linha, que tem dois pontos finais. Uma linha gera um quadrado, com quatro pontos finais. Agora podemos responder a sua pergunta: 1,2,4, é evidentemente, uma série geométrica. Qual o próximo termo da série?

Eu - Oito.
Visitante - Certo. O quadrado gera algo para o qual não tem você, até agora, um nome, porém que chamaremos Cubo, com oito pontos finais. De acordo?

Eu - E tem essa criação também quantos lados e quantos vértices, ou pontos finais, como V. Sa. os chama?
Visitante - Naturalmente! E correspondem por completo à analogia. Não se chamam, porém, lados, e sim faces. Esta criação é um "corpo".
Eu - E quantas faces teria então esse corpo, originado pelo movimento de meu interior para cima, e que V. Sa. chama cubo?
Visitante - Como pode você fazer uma pergunta dessas? Você, um matemático! Um ponto tem "0" faces, uma linha, por assim dizer, 2, um quadrado, 4. Veja bem: zero, dois, quatro... Com se chama esta série?

Eu - Aritmética.

Visitante - E qual o termo seguinte?
Eu - Seis. 
Visitante - Perfeitamente! De acordo! Vê como você respondeu à sua pergunta? O cubo que você pode gerar está limitado por seis faces, quer dizer, por seis das faces internas de um quadrado. Está agora claro?
"Espetacular! - exclamou eu - V. Sa. um ilusionista, um mágico, um visionário ou um demônio, não suporto mais suas enganações! - E me lancei sobre ele".

Uma Visita ao País Plano (Parte 1)

Edwin A. Abbot, inglês, escreveu em  um livro, cuja ação desenvolve-se num país "plano" (Flatland). O personagem principal é um Quadrado, bom matemático, que conta uma história de dimensões. Antes de dar a palavra ao Quadrado, seja-nos permitido explicar que, da mesma forma como nós percebemos três dimensões, todos os habitantes do País Plano só podem perceber duas. O fato desse país estar mergulhado numa tênue nuvem, só permite aos seus habitantes apreciar distâncias: quanto mais próxima está uma figura, ou mais exterior de uma figura, como diria Euclides, tanto mais fácil e claramente se a pode reconhecer. As figuras mais longínquas, ou suas partes, aparecem, ao contrário, obscuras e desvanecidas. Deste modo podem diferenciar-se linhas curvas, retas, ângulos e arestas. Além disso, existe nesse país um provérbio que diz "melhor bem tocado que mal visto". Os seres bidimensionais do país plano são das mais diversas configurações. O narrador, como já dissemos tem a forma de um quadrado. Sua mulher, como, aliás, todas as mulheres do País Plano, têm a forma de uma linha reta. Trabalhadores e soldados são triângulos equiláteros. Os funcionários e o governador são polígonos regulares e o sacerdote tem a forma de um círculo que tem a propriedade de crescer e contrair-se. O Quadrado conta, para seus conterrâneos, seu diálogo com a a Esfera:

Devido ao tamanho deste diálogo, dividi em duas partes para os leitores para aguçar a curiosidade dos leitores. 

- "Aproximei-me do forasteiro com a intenção de examiná-lo mais atentamente e roguei-lhe que se sentasse. Porém, a impressão que tive me deixou mudo e estupefato. Sem o menor sinal de constituição angular, modificou-se, entretanto, seu tamanho. Eu estava em minha casa e não havia nuvens, mas foi para mim muito difícil acreditar no que via, ainda que fosse tão pequena a distância entre nós. Tomado pelo temor, aventurei-me a uma atitude bastante descortês:
-Posso tocá-lo? - perguntei. Não possuía um ângulo sequer. Estava rígido, era um círculo perfeito, sobre isso eu não tinha a menor dúvida. Tivemos, então, o seguinte diálogo, que vou esforçar-me para transcrever aqui com a maior clareza possível".
Visitante - Já me observou bastante?
Eu - Respeitável senhor; perdoa-me as indiscrições, que têm sua razão não num desconhecimento das regras de boa educação e cortesia, mas sim no estado de surpresa e nervosismo pela sua inesperada visita. Porém, antes que V. Sa. entre na conversação, poderá designar-se satisfazer à ânsia de um cidadão que deseja saber de onde vem seu visitante?
Visitante - Do espaço, naturalmente. De onde mais poderia ser?

Eu - Perdoa-me, senhor. Porém, não estamos nós aqui igualmente no espaço, V. Sa. e eu, vosso humilde servidor?
Visitante - Ora pois! Que entende você por espaço? Explique-me!
Eu - O espaço, Excelência, é infinitamente extenso em comprimento e largura.
Visitante - Mas como?! Você não sabe o que é espaço! Imagina-o apenas com duas dimensões: comprimento e largura. Porém, cheguei aqui para mostrar-lhe uma terceira: a altura.

Eu - V. Sa. está brincando! Nós também falamos de comprimento e largura, de longitude e amplitude e designamos, assim, duas dimensões com quatro nomes.
Visitante - Mas eu estou falando de três nomes, ou seja, de três dimensões: comprimento, largura e altura.
Eu - Quer V. Sa. mostrar-me ou explicar-me em que direção se encontra a terceira para mim desconhecida?
Visitante - Eu venho dela. É acima e abaixo. Sobre nós e abaixo de nós.
Eu - Vossa Excelência refere-se, evidentemente, ao Norte e ao Sul?
Visitante - Não! Não! Eu não disse isto. Eu me refiro à uma direção para a qual você não pode olhar, porque não tem olho algum desse lado. 
Eu - Perdoa-me, senhor, mas um rápido exame o convencerá de que tenho um olho em cada vértice. E são ótimos!
Visitante - Sim. Mas para poder ver no espaço você deveria ter um olho não em seu perímetro, mas no rosto, quer dizer, no que chamará, talvez, seu interior. Nós, do País Espacial, o chamamos seu rosto.
Eu - Um olho no meu interior!? No meu estômago!? O senhor está brincando.
Visitante - Não. Não estou brincando. Eu digo a você que venho do espaço, ou, se não entende o que é espaço, do país das três dimensões, donde posso ver seu plano, o que chama de espaço. Desde daquele ponto de vista, eu consigo ver o quee você chama de corpo, suas casas, suas igrejas, seus estômagos. Tudo se encontra aberto e exposto a minha vista. 
Eu - Tais afirmações são um tanto precipitadas, meu senhor!
Visitante - Não são facilmente demonstráveis, quer você dizer. Quando desci até aqui, vi seus quatro filhos, os pentágonos, cada um em sua casa, e mais seus netos, os hexágonos. Vi a seu mais jovem hexágono permanecer um momento com você e, então, voltar para casa dele e sua senhora deixá-lo ir sozinho. Então, como pensa você que cheguei aqui?
Eu - Presumivelmente através do telhado.
Visitante - Não foi assim. Como você sabe, seu telhado foi consertado faz pouco tempo e não tem furo. Eu volto a dizer, venho do espaço. Não conseguir convencê-lo pelo que contei de sua família?
Eu - Vossa Excelência me trata como se fosse um ignorante, que nada entendesse de matemática e aceitasse que uma linha reta tem só uma dimensão. Não meu senhor, nós os quadrados, temos uma resposta melhor: uma mulher ainda que chamada linha reta, é, em realidade e cientificamente, um paralelogramo muito estreito mas que, como nós, também tem duas dimensões: comprimento e largura.
Visitante - Entretanto, o simples fato de que uma reta seja "visível" pressupõe a existência de outra dimensão. 

Eu - Nós "vemos" apenas o comprimento, mas "deduzimos" a largura da reta.

Visitante - Você não está entendendo. Se uma linha reta fosse um mero comprimento sem largura, cessaria de ocupar espaço e deveria, por isso, ser invisível.

Eu - Devo, desde logo, reconhecer que, em essência, não o compreendo. O que a faz visível é a claridade. No escuro não a vemos. Devo interpretar que V. Sa. considera a "claridade" como uma dimensão, e que chama "altura" ao que chamamos "claro"?

Continuarei esse diálogo no próximo post. Aguardem!

Como Estudar Matemática?

Veremos neste post algumas dicas muito úteis para todos os alunos que desejam estudar Matemática, sendo que este roteiro serve também para as outras áreas do conhecimento.

Dicas Gerais:

 Faça você mesmo os exercícios, nunca peça a outra pessoa para fazê-los, apenas peça explicações.

 Leia os enunciados mais de uma vez para compreender o que é pedido. Nem sempre compreendemos tudo na primeira leitura. Se for possível, destaque os dados mais importantes.

 Quando surgir alguma dúvida durante a resolução de exercícios, volte ao enunciado.

 Ao resolver problemas, leia observando o que deve ser feito para solucioná-los, anotando os dados.

 Confira sempre as anotações.

 Procure relacionar as matérias com situações do dia-a-dia.

 Confira se está tudo de acordo como enunciado e se há questões sem fazer.

Como estudar Matemática durante as aulas:

 Participe das aulas, perguntando quando tiver alguma dúvida sobre a matéria ou sobre as resoluções dos exercícios.

 Dê bastante atenção as explicações e correções, mesmo quando achar a matéria fácil.
 Participe falando sua forma de resolução, sempre que ela for diferente da apresentada por outros colegas.
 Corrija todo o dever com muita atenção, não deixe de marcar certo ou errado e faça sempre a correção necessária. Nunca copie do quadro exercícios prontos, sem tê-los entendido primeiro.

Como estudar Matemática em casa:

 Faça os deveres com atenção e sempre que tiver dúvida, consulte a matéria.

 Estude refazendo os exercícios dados em aula.

 Se errar procure descobrir seu erro e repita o exercício até acertá-lo com segurança.

 Exercite e aprimore as operações fundamentais, sempre conferindo o resultado.

 Reveja diariamente toda a matéria dada, principalmente os exercícios que você teve maior dificuldade.

Aplicações do Cálculo da Área de uma Circunferência

Calculamos a área de uma região limitada por uma circunferência aplicando a seguinte fórmula:


Onde:

∏ (pi) = aproximadamente 3,14
r = raio da circunferência

Exemplo 1

Qual a área de uma praça que tem raio medindo 12 metros?
A = ∏r²

A = 3,14 * 12²
A = 3,14 * 144
A = 452,16 m²

A área da praça é de 452,16 m²

Exemplo 2

Se a área de uma região circular é de 379,94 m², qual o valor do seu raio?
A = ∏r²

379,94 = 3,14 * r²
r² = 379,94 / 3,14
r² = 121 (aplicar raiz quadrada)
r = 11 m
O raio da praça mede 11 metros.

Com a Matemática é possível explicar diversos fenômenos do dia-a-dia.

Fenômeno	Explicação matemática
Como é que um avião se mantém no ar sem algo a suportá-lo?	Equações descobertas por Daniel Bernoulli no século XVIII
O que faz com que uma maçã caia de uma árvore na terra? O que mantém a Terra a girar em torno do Sol?	Equações do movimento e da mecânica descobertas por Newton no século XVII
Como é que as imagens e sons de um jogo de futebol aparecem numa TV em qualquer parte do mundo?	Através da radiação electromagnética descrita pelas equações de Maxwell, século XIX
Sons musicais	Foram estudados por Aristóteles
A Terra é circular	2000 anos antes de enviarmos uma nave espacial para o espaço que nos fornece fotografias da Terra, Eratóstenes usou a Matemática para provar que a Terra é circular. Calculou o seu diâmetro e a sua curvatura com 99% de exactidão.
Quem vai ganhar nas eleições?	Previsão com base na teoria das probabilidades e estatística
Amanhã vai chover?	Previsão com base no cálculo
Estudo do comportamento do mercado de valores de uma bolsa	É feito pelos analistas de mercado com várias teorias matemáticas.
Qual o valor do seguro de vida a pagar?	As companhias de seguros usam estatística e probabilidades para ajustarem os seus prémios de acordo com a probabilidade de se ter um acidente durante o ano.