Uma Visita ao País Plano (Parte 2)

Vejamos então a segunda e última pe desta incrível história de Edwin A. Abbot. Sugiro que leia antes a primeira parte e se quiser saber mais recomendo que compre o livro.

Visitante - Não, não e não! Por altura me refiro à uma dimensão análoga à seu comprimento, só que para você a altura não é tão facilmente perceptível, já que é pequeníssima.

Eu - Excelência, cabe comprovar vossa afirmação. V. Sa. diz que eu tenho uma terceira dimensão que chama altura. Pois bem, à esta dimensão há de corresponder uma direção e uma possibilidade de medição. Meça V. Sa. simplesmente a minha altura, ou mostre me, pelo menos, em que direção ela se estende, e eu me convencerei. Se não...

Visitante - Como devo convencê-lo?... Agora escute-me. Você vive em um plano. Este país, que você designa Plano, é igual à superfície de algo que eu poderia classificar com um líquido no qual você se move, sobre seu leito superior, sem poder nem elevar-se nem afundar. Eu não sou uma figura plana, e sim um corpo. Você me chama de círculo, mas na realidade não sou nenhum círculo e sim um número infinito de círculos que variam, em magnitude, desde um ponto até um círculo de 35 cm  de diâmetro, dispostos uns sobre os outros. Quando atravesso seu plano, como agora, então constituo em seu plano uma seção, que você, muito corretamente, chama de círculo. Pois uma esfera - este é meu nome verdadeiro - quando se apresenta aos habitantes de um país plano, deve, necessariamente, fazê-lo como um círculo. Seu plano não é suficiente amplo para mim. Vejo incredulidade em seus olhos. Mas, veja você, eu me elevo, e o efeito aos seus olhos é que meu círculo é cada vez menor, se concentrará num ponto até, finalmente, desaparecer por completo.

"Eu não pude - prosseguiu o narrador, o quadrado com formação matemática - ver realmente sua elevação. Vi entretanto, que se fez cada vez menor, acabando por desaparecer. Esfreguei os meus olhos para certificar-me de que não estava sonhando. Mas não era sonho, pois, das profundezas inlocalizáveis, me chegou uma voz grave".

Visitante - Está agora convencido? Pois bem, vou regressar gradualmente e você verá como minha seção se fará cada vez maior.

"Porém, apesar de ter diante de mim o fato, suas causas permaneceram tão obscuras quanto antes. Tudo o que pude perceber foi que o círculo se fazia cada vez menor e desaparecia e que agora reaparecia e se agrandava. Quando chegou a alcançar seu tamanho ordinário, ouvi-o exalar um profundo suspiro, pois ele observou, pelo meu silêncio, que não o havia compreendido. Eu estava inclinado a crer que fosse um enviado especial ou um ilusionista. Após uma longa pausa ele murmurou para si mesmo: - Devo tentar pelo método da analogia."

Visitante - Diga-me, senhor Matemático, se um ponto se desloca um pouco para o norte e deixa atrás de si uma esteira luminosa, que nome daria você à esta esteira?
Eu - Uma reta.
Visitante - E quantas extremidades tem uma reta?
Eu - Duas.

Visitante - Considere, agora, que esta linha que cursa para o norte se desloque paralelamente a si mesma, de leste para oeste, de forma que cada ponto deixa atrás de si a esteira de uma reta. Que nome dará à figura assim formada?

Eu - Um quadrado.

Visitante - E quantos lados tem um quadrado? Quantos ângulos?
Eu - Quatro lados e quatro ângulos.
Visitante - Vamos agora dar mais rigor à sua faculdade representativa. Imagine-se você, um quadrado, no País Plano, que se desloca paralelamente a si mesmo para cima.

Eu - Como? Para o norte?

Visitante - Não! Não para o norte! Para cima. Para além do País Plano. Eu me refiro a que todo ponto do que você chama seu interior, se desloque para cima através do espaço, de tal forma que nenhum ponto passe pelo lugar que foi antes ocupado por outro ponto. Entendeu?

"Eu reprimi minha impaciência, - disse o quadrado - pois senti uma forte gana de precipitar-me sobre meu visitante e lança-lo ao espaço, além de nosso país! Mas respondi"

Eu - E de classe deve ser a figura formada mediante este movimento para cima? Penso que poderá ser descrita em minha linguagem?
Visitante - Certo. É muito simples. Você deve falar referindo-se à ela, não em Figura, mas em Corpo. Façamos uma analogia. Comecemos por um único ponto que, por ser um ponto, só tem um ponto final. Um ponto gera uma linha, que tem dois pontos finais. Uma linha gera um quadrado, com quatro pontos finais. Agora podemos responder a sua pergunta: 1,2,4, é evidentemente, uma série geométrica. Qual o próximo termo da série?

Eu - Oito.
Visitante - Certo. O quadrado gera algo para o qual não tem você, até agora, um nome, porém que chamaremos Cubo, com oito pontos finais. De acordo?

Eu - E tem essa criação também quantos lados e quantos vértices, ou pontos finais, como V. Sa. os chama?
Visitante - Naturalmente! E correspondem por completo à analogia. Não se chamam, porém, lados, e sim faces. Esta criação é um "corpo".
Eu - E quantas faces teria então esse corpo, originado pelo movimento de meu interior para cima, e que V. Sa. chama cubo?
Visitante - Como pode você fazer uma pergunta dessas? Você, um matemático! Um ponto tem "0" faces, uma linha, por assim dizer, 2, um quadrado, 4. Veja bem: zero, dois, quatro... Com se chama esta série?

Eu - Aritmética.

Visitante - E qual o termo seguinte?
Eu - Seis. 
Visitante - Perfeitamente! De acordo! Vê como você respondeu à sua pergunta? O cubo que você pode gerar está limitado por seis faces, quer dizer, por seis das faces internas de um quadrado. Está agora claro?
"Espetacular! - exclamou eu - V. Sa. um ilusionista, um mágico, um visionário ou um demônio, não suporto mais suas enganações! - E me lancei sobre ele".